Skrivning i fagene
Vælg dine fag her Tysk Samfundsfag Psykologi Naturgeografi Musik Matematik NV Kemi Fysik Engelsk Dansk Biologi Fransk Spansk

I starten af et opgavesæt til skriftlig eksamen i matematik står der 5 punkter, som kan være med til at tydeliggøre, hvad der forventes af en god besvarelse af en eksamensopgave. Du kan derfor bruge listen herunder som en slags tjekliste for din besvarelse:

  • Tekst
  • Notation og layout
  • Redegørelse og dokumentation
  • Figurer
  • Konklusion

I opgavesættene er de fem punkter beskrevet sådan her – og nederst kan du se hvert punkt forklaret med flere ord og eksempler:

I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. Dette vurderes blandt andet ud fra kravene beskrevet i de følgende fem kategorier:

1. TEKST

Besvarelsen skal indeholde en forbindende tekst fra start til slut, der giver en klar præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte delspørgsmål går ud på.

2. NOTATION OG LAYOUT

Der kræves en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen i overensstemmelse med god matematisk skik, herunder en redegørelse for den matematiske notation, der indføres og anvendes, og som ikke kan henføres til standardviden.

3. REDEGØRELSE OG DOKUMENTATION

Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte fremgangsmåde og dokumentation i form af et passende antal mellemregninger og/eller en matematisk forklaring på brugen af de forskellige faciliteter, som et værktøjsprogram tilbyder.

4. FIGURER

I besvarelsen skal der indgå en hensigtsmæssig brug af figurer og illustrationer, og der skal være en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer.

5. KONKLUSION

Besvarelsen skal indeholde en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og/eller med brug af almindelig matematisk notation.

Nedenfor tydeliggøres for hvert punkt, hvad der menes, idet der både gives eksempler på besvarelser, som opfylder kravene i tilstrækkeligt omfang, og på besvarelser, som ikke gør det.

Tekst

Man skal kunne læse besvarelsen uden at have opgaveteksten ved siden af. Det ses tit, at selve opgaveteksten fra de enkelte opgaver er indsat med copy/paste, men nogle gange er det en god idé, hvis du uddyber de enkelte delspørgsmål ved at skrive dem med dine egne ord. Derved kan læseren også se, om du har forstået opgaveformuleringen.

Når du skriver besvarelsen, kan du forestille dig, at læseren af besvarelsen er en elev på samme niveau, som du selv går på. Dette vender vi tilbage til under punkt 3. Besvarelsen skal kunne læses af denne person som en sammenhængende tekst, som knytter det matematiske indhold sammen til en helhed.

Der skal dog ikke være mere tekst end nødvendigt for sammenhængen. Nogle opgaver, især i prøven uden hjælpemidler, kan endda være så simple, så der ikke er stort behov for tekst. Her kan det være nok med de relevante mellemregninger stillet fornuftigt op, som det kræves i punkt 2. Det kunne f.eks. være en opgave af typen ”Reducér udtrykket… ”

Opgaveeksempel 1

 

Eksempel A

 

Eksempel B

Jeg løser opgaven i GeoGebra.
Arealet af M bliver 6.75

 

Spørgsmål til de to besvarelser:

  1. På hvilke punkter er teksten i Eksempel B utilstrækkelig?
  2. Kan du give forslag til yderligere forbedring af teksten i Eksempel A, uden at besvarelsen svulmer op?

Notation og layout

Normalt bør din besvarelse af et eksamenssæt for hver af de to delprøver bestå af et antal A4-ark med sidenumre, hvor hele sidens bredde udnyttes til besvarelse af opgaverne. Dit navn, opgavesættets navn og sidenummereringen kan f.eks. stå i tekstens sidehoved, hvis du afleverer elektronisk. Du anbefales stærkt at aflevere din besvarelse af opgavesættet som ét dokument i PDF-format, så du er mest mulig sikker på, at din besvarelse kan læses som du skrev den.

I princippet kan du godt besvare opgaverne i en anden rækkefølge, end de står i opgavesættet, men med elektronisk aflevering vil det være enkelt for dig at redigere besvarelsen, så opgaverne står i den rækkefølge, de er stillet. Brug af hele skærmbilleder i besvarelsen kan af hensyn til læseligheden nogle gange begrunde, at enkelte sider er liggende A4, men det er ikke ønskeligt. Brug evt. udsnit af skærmbilleder i stedet.

I forbindelse med længere udregninger som f.eks. løsning af ligninger i prøven uden hjælpemidler skal du kun bruge matematiske symboler, hvis du er helt sikker på, at du kan gøre det korrekt. Pas f.eks. på med at bruge tegn som ⇔ , ⟶ , ∧ og ∨ . Mange gange er det bedre at skrive tekst i stedet for. Der er ikke noget krav om, at omskrivninger ved f.eks. ligningsløsning formuleres med symboler. Hvis du alligevel føler trang til at sætte tegnet ” ⇔ ”, bør du altid overveje, om det måske snarere burde være ” = ”, og om du måske mest følte trangen, fordi du ikke gad skrive en fornuftig tekst. Undgå altid at bruge tilfældige symboler som erstatning for ord.

Det kan tænkes, at I i undervisningen har brugt skrivemåder og formuleringer, som f.eks. hører til særlige værktøjsprogrammer, eller som er indført i forbindelse med supplerende emner, og derfor måske ikke er en del af standard-notationen på det niveau, du går på. Det kan læseren ikke forventes at kende, og derfor må du enten undgå det, eller forklare det. Ingen eksamensopgaver kræver i sig selv særlige avancerede skrivemåder, så skriv så enkelt og præcist som muligt.

Opgaveeksempel 2

Eksempel A

 

Eksempel B

Spørgsmål til de to besvarelser

  1. På hvilke punkter er notationen i Eksempel B ukorrekt?
  2. Find et eller flere eksempler på, at forfatteren af Eksempel B har ønsket at undgå at skrive tekst.

Redegørelse og dokumentation

Forklar, hvad du tænker!

Det er vigtigt, at den, som læser din besvarelse, får mulighed for at følge og forstå din tankegang. I prøven uden hjælpemidler betyder det f.eks. at du skal vise tilstrækkeligt med mellemregninger, og forklare, hvilke formler, du evt. benytter. Når du bruger formler, kan det være en god idé først at skrive formlen op med bogstaver og evt. omskrive denne, hvorefter oplysninger fra opgaveteksten kan indsættes.

Ofte vil man i prøven med hjælpemidler kunne løse store dele af opgaven med et værktøj som f.eks. WordMat eller GeoGebra. Så er det ikke tilstrækkeligt blot at skrive f.eks. ”Jeg løser opgaven med GeoGebra” og så indsætte et skærmbillede, hvor opgaven er løst. Du kan forestille dig, at en kammerat skulle løse opgaven. Så må du give tilstrækkeligt detaljerede instruktioner til, at vedkommende uden nogen form for kreativitet ville være i stand til at genskabe din løsning. Læseren skal ikke gætte, hvad du har tænkt, så det må du forklare. Undgå formuleringer som ”Det ses let, at ….”

Det kan tænkes, at du må omforme eller bearbejde nogle af oplysningerne i en opgave. Hvis du eksempelvis skal tegne en sumkurve, kan det være nødvendigt, at du først laver en tabel over kumuleret frekvens. Hvis du skal lave regression, er det ofte nødvendigt først at lave en tabel, hvor sædvanlige årstal i 𝑥-værdierne er erstattet af ”antal år efter…”-værdier. Denne nye tabel skal med i besvarelsen.

Du skal også huske på, at censor måske ikke kender dit værktøj helt så godt, som du selv gør. Derfor er du nødt til at ”oversætte” din brug af værktøjet til en almindeligt læselig forklaring, som gør det troværdigt, at den metode, du har brugt, faktisk giver en korrekt løsning af den stillede opgave. Ved meget lange og indviklede opgaver (de er ret sjældne!) kan du evt. starte med at beskrive den plan, du har for løsning af opgaven. Skulle alting kikse for dig, kan du måske hente nogle points, hvis den metode, du har beskrevet, er fornuftig.

Det er heller ikke sikkert, at dit værktøj viser resultaterne på en måde, som er i overensstemmelse med god matematisk praksis. Så må du også ”oversætte” resultaterne for læseren.

Opgaveeksempel 3

Eksempel A

Eksempel B

Spørgsmål til de to besvarelser

  1. Sammenlign de to besvarelser. På hvilke punkter er redegørelsen og dokumentationen i Eksempel B ikke tilstrækkelig i forhold til de krav, som er beskrevet? Find mindst 5 fejl eller mangler, og forsøg at rangordne dem, så den væsentligste fejl eller mangel står først.
  2. Besvarelsen i Eksempel A holder sig strengt til opgaveformuleringen. Kan du foreslå tilføjelser, der kunne gøre besvarelsen endnu bedre?

Figurer

I besvarelsen skal du indsætte figurer passende steder. Figuren kan f.eks. være kopieret fra opgaveformuleringen, eller det kan være geometriske figurer eller grafer, som opstår som en del af din opgaveløsning, f.eks. ved brug af værktøjsprogrammer. Det kan være en god idé at indsætte grafer og figurer i besvarelsen, også selv om det ikke udtrykkeligt kræves i opgaveteksten.

Tegn! En figur er vigtig som støtte for din forklaring. Figuren skal være “principielt korrekt” ud fra de foreliggende oplysninger (f.eks. skal en retvinklet trekant tegnes retvinklet, selv på en ”prøvefigur”). Angiv de opgivne størrelser på eller ved figuren. Betegnelser fra opgaveteksten, på tegninger og i beregninger skal passe sammen. Den samme betegnelse må ikke betyde flere forskellige ting i samme opgavebesvarelse.

Sørg for, at grafer og figurer viser det, som er vigtigt for besvarelsen. Hvis en funktion er givet i et bestemt interval, skal grafen vise funktionen i dette interval, og hvis der f.eks. søges løsninger med grafiske metoder i et bestemt område af koordinatsystemet, skal man kunne se dette på figuren.

Koordinatsystemer, herunder enheder på akser mm., skal tilrettes, så de er hensigtsmæssige i forhold til opgaven. Man skal kunne se alle væsentlige egenskaber ved de funktioner, som indgår i opgaven, på figuren. Hvad der er væsentligt, afhænger af opgaven, men det kunne f.eks. være monotoniforhold, ekstrema, nulpunkter for funktionen, områder, hvis areal skal beregnes, etc.

Husk at henvise til grafen, når du bruger den i din argumentation, f.eks. i forbindelse med monotoniforhold og ekstrema. Hvis du skal beregne arealet af en punktmængde, bør du markere den på figuren, så du kan henvise til den fra teksten. Hvis du eksempelvis aflæser et kvartilsæt ud fra en sumkurve, skal du markere på figuren, hvordan du aflæser, så du igen kan henvise til figuren fra teksten. I en god besvarelse hænger figurer, herunder grafer, tæt sammen med besvarelsens tekst, og ingen af delene kan undværes.

Opgaveeksempel 4

Eksempel A

Eksempel B

Spørgsmål til de to besvarelser

  1. På hvilke punkter er brugen af figurer i Eksempel b) ikke optimal i forhold til de krav, som er beskrevet?
  2. Besvarelsen i Eksempel a) er blevet ret lang. Kunne man lave én figur, der fornuftigt dækkede hele opgaveteksten, så man kunne stramme besvarelsen lidt op?
  3. Når vi nu alligevel har alle udregninger, er det vel ikke strengt nødvendigt, at vi kan se, at det er WordMat, der har lavet dem? Kan du redigere en besvarelse, som kun har én figur, og som kun viser det nødvendige?

Konklusion

Du skal huske at formulere klare svar på alle delspørgsmål, også selv om resultaterne måske fremgår af nogle udregninger i et værktøjsprogram eller af skærmbilleder, som du har indsat. Dem kan du så henvise til, når du formulerer svarene.

Vær omhyggelig med at vurdere, hvornår det er mest fornuftigt at svare med hele sætninger, eller om der i enkelte tilfælde (f.eks. ved ligningsløsning eller reduktion i prøven uden hjælpemidler) kan svares med en rent matematisk notation. Hvis spørgsmålet i opgaven er formuleret med tekst, skal du som hovedregel også svare med tekst.

Hvis problemstillingen i opgaven oprindeligt drejer sig om et bestemt emne, skal svaret formuleres, så det relaterer sig til dette emne. Konkrete og praktiske spørgsmål skal have konkrete og praktiske svar. Hvis der er enheder i opgaven, skal svarene også formuleres med enheder, som passer til opgaven. Eventuelle spørgsmål om ”fortolkning” skal altid forstås, så det handler om at sætte opgavens matematik ind i en konkret sammenhæng. Konstanterne 𝑎 og 𝑏 i 𝑦 = 𝑎 · 𝑥 + 𝑏 skal altså ikke ”fortolkes” som ”hældningskoefficient” og ”skæring med 𝑦-aksen”, men måske som ”pris i kr. pr kørt km” og ”startpris i kr”. på i en opgave, der handler om taxameterpriser på taxakørsel.

Udregninger skal helst ske uden unødvendig afrunding, hvorimod facit bør afrundes til et passende antal betydende cifre, som afhænger af den konkrete sammenhæng. Det er ikke rigtigt, at man direkte kan se det af de tal, som indgår i opgaveformuleringen, men det dog ofte give dig en fornemmelse af, hvad der er rimeligt. Brug din sunde fornuft! For få decimaler på eksempelvis fremskrivningsfaktorer kan give betydelige afvigelser på resultatet, hvis du fremskriver og regner afrundet! For mange decimaler på f.eks. længden af et bræt til en sandkasse giver ikke praktisk mening. I rent teoretiske opgaver som f.eks. løsning af andengradsligninger i prøven uden hjælpemidler vil det være mest fornuftigt at angive en eksakt løsning, også selv om den indeholder kvadratrødder.

Det bedømmes positivt, hvis du er i stand til at reducere dine facit til den enkleste og tydeligste form. F.eks. bør ligninger for linjer reduceres til enten formen 𝑦 = 𝑎 · 𝑥 + 𝑏 eller formen 𝑎 · 𝑥 + 𝑏 · 𝑦 + 𝑐 = 0 . Men hvis du ikke kan reducere udtrykket i facit korrekt, bør du hellere lade være, især, hvis du skal regne videre med udtrykket. Så er det bedre at stole på dit værktøjsprogram.

Opgaveeksempel 5

Eksempel A

Eksempel B

Spørgsmål til de to besvarelser

  1. På hvilke måder er konklusionerne i Eksempel b) ikke optimale i forhold til de krav, som er beskrevet?
  2. Diskutér konklusionerne i Eksempel a). På hvilke måder lever konklusionerne op til de krav, der er formuleret ovenfor? Giv 3 eksempler.